1、一个楼梯有20级，每次走1级或是2级，从底走到顶一共有多少中走法？
算法：
设 n 是阶数，f(n) 是上 n 阶的不同走法数，则第一步可以走一阶或者是两阶，
那么这三种情况下剩余的阶数分别为 n-1、n-2，
所以 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。
//递归解法
int solution1(int n)
{
if(n == 0 || n == 1) return 1;
else return solution1(n-1) + solution1(n-2);
}
//非递归解法
int f[100];
int solution2(int n)
{
f[0] = 1;
f[1] = 1;
for(int i=2; i<=n; ++i)
f[i] = f[i-1] + f[i-2];
return f[n];
}
2、质因数分解：得到num的所有质因数
void prime_number(int num, int n)
{
if(num > n)
{
while(num % n) n++; //找到一个质因数
num /= n; //除以这个质因数
cout<<n<<endl; //打印这个质因数
prime_number(num,n);
}
}
int main()
{
int n = 1001;
prime_number(n,2);
return 0;
}
3、不用任何中间变量，如何获取字符串的长度
int my_strlen(const char* str)
{
if(*str == '\0') return 0;
else return my_strlen(str+1)+1;
}
不用任何中间变量，以递归反序输出一个字符串:
void reverse(const char *p)
{
if(*p == '\0') return;
reverse(p+1);
printf("%c",*p);
}
4、全排列和全组合
#include <iostream>
using namespace std;
template <class Type>
void permute(Type a[], int start, int end)
{
if(start == end)
{
for(int i = 0; i <= end; ++i)
{
cout<<a[i]<<" ";
}
cout<<endl;
}
else
{
for(int i = start; i <= end; ++i)
{
swap(a[i],a[start]);
permute(a,start+1,end);
swap(a[i],a[start]);
}
}
}
template <class Type>
void combine(Type a[], bool b[], int start, int end)
{
if(start > end)
{
for(int i = 0; i <= end; ++i)
{
if(b[i])
cout<<a[i]<<" ";
}
cout<<endl;
}
else
{
b[start] = true;
combine(a,b,start+1,end);
b[start] = false;
combine(a,b,start+1,end);
}
}
int main()
{
int p[3]={1,2,3};
int N = 3;
cout<<"permute:"<<endl;
permute(p,0,N-1);
cout<<"combine:"<<endl;
bool b[3];
combine(p,b,0,N-1);
return 0;
}
全组合还有一个有趣的解法：可以构照一个长度为n（字符串的长度）的01字符串（或二进制数）表示输出结果中最否包含某个字符，比如：对于字符串“abc”，"001"表示输出结果中不含字符a、b，只含c，即输出结果为c，而"101"，表示输出结果为ac。原题就是要求输出"001"到"111"这2^n–1个组合对应的字符串。
参考：http://www.cnblogs.com/luxiaoxun/archive/2012/08/08/2628153.html
5、给出一个集合，如{1, 2, 3, 4}，打印出该集合的所有子集 分析一下问题，子集是指取原集合中的任意多个元素，转化一下问题，就是对于原集合中的任何一个元素，都有两个选择，包含或者不包含，所以对于n个元素的集合，其子集数为：2*2*2... = 2^n，去掉空集就是2^n-1个。那么可以得出其递归算法，本题实质上和打印字符串的所有组合是一样的。
void Recursive_Subsets(int* a, bool* b, int start, int end)
{
if(start <= end)
{
b[start] = true; // pick the a[start]
Recursive_Subsets(a, b, start+1, end);
b[start] = false; // not pick the a[start]
Recursive_Subsets(a, b, start+1, end);
}
else
{
for(int i = 0; i <= end; i++)
{
if (b[i]) cout << a[i];
}
cout << endl;
}
}
void PrintAllSubsets(int* a, int n)
{
bool* b = new bool[n];
Recursive_Subsets(a, b, 0, n-1);
delete b;
}
6、电话号码对应的字符组合
题目：在电话或者手机上，一个数字如2对应着字母ABC，7对应着PQRS。那么数字串27所对应的字符的可能组合就有3*4=12种（如AP，BR等）。现在输入一个3到11位长的电话号码，请打印出这个电话号码所对应的字符的所有可能组合和组合数。
#include<iostream>
using namespace std;
const char* letter[10]={"","","ABC","DEF","GHI","JKL","MNO","PQRS","TUV","WXYZ"};
const int num[10]={0,0,3,3,3,3,3,4,3,4};
char input[20];
char output[20];
void solve(int p，int len)
{
if(p == len)
{
output[len] = '\0';
cout<<output<<endl;
return;
}
int i;
for(i=0; i<num[input[p]]; i++)
{
output[p] = letter[input[p]][i];
solve(p+1,len);
}
}
int main()
{
scanf("%s",input);
len = strlen(input);
int total = 1;
for(int i=0; i<len; i++)
{
input[i] -= '0';
total *= num[input[i]];
}
solve(0,len);
cout<<"The total num of combination is "<<total<<endl;
return 0;
}
7、Coin Chagne：硬币找零问题
硬币找零问题：给定一个正整数N，和一个正整数集合S，集合中的每个元素都有无限个，如何选定集合中的元素组合使其和为N For example, for N = 4, S = {1,2,3}, there are four solutions: {1,1,1,1},{1,1,2},{2,2},{1,3}.
递归解法：假设集合S中的元素的顺序是递增的，则： C(N,M)，表示从M个元素选中若干个满足和为N的解法个数，则C(N,M)=C(N,M-1)+C(N-S[M-1],M-1)
C(N,M)=1, N=0
C(N,M)=0, N<0
C(N,M)=0, N>=1,M<=0
int Count(int N, int *s, int M)
{
if(N == 0) return 1;
if(N < 0) return 0;
if(N >= 1 && M <= 0) return 0;
return Count(N,s,M-1)+Count(N-s[M-1],s,M-1);
}
最少硬币找零问题：给定一个正整数N，和一个正整数集合S，集合中的每个元素都有无限个，如何选定最少的集合中元素，使其和为N For example, for N = 4, S = {1,2,3}, there are two solutions: {2,2},{1,3}.
递归解法：假设集合S中的元素的顺序是递增的，C(N,M)，表示从M个元素选中若干个满足和为N的解法个数，则： C(N,M)=min(C(N,M-1),C(N-S[M-1],M-1))+1
int minCount(int N, int *s, int M)
{
if(N == 0) return 1;
if(N < 0) return 0;
if(N >= 1 && M <= 0) return 0;
return min(Count(N,s,M-1),Count(N-s[M-1],s,M-1))+1;
}
8、输入两个整数 n 和 m，从数列1，2，3...n 中随意取几个数，使其和等于m ,要求将其中所有的可能组合列出来。
解为：此题等同于整数分解问题，将m分解成n以内的解为：f(n,m)，分解成两个子问题：f(n-1,m-n)和f(n-1,m)
vector<int> vec;
void find_factor(int sum, int n)
{
if(n <= 0 || sum <= 0)
return;
if(sum == n)
{
for(vector<int>::iterator iter = vec.begin(); iter != vec.end(); iter++)
cout << *iter << " + ";
cout << n << endl;
}
vec.push_back(n);
find_factor(sum-n, n-1); //放n，n-1个数填满sum-n
vec.pop_back();
find_factor(sum, n-1); //不放n，n-1个数填满sum
}
作者：阿凡卢
出处：http://www.cnblogs.com/luxiaoxun/
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