山重水复疑无路，最快下降问梯度（深度学习入门系列之七）

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两千多年前，司马迁在《史记•滑稽列传》写到：“此鸟不飞则已，一飞冲天；不鸣则已，一鸣惊人。”说的是当年楚庄王在“势不眷我”时，选择了“蛰伏”。蛰伏，只是一个储势过程，迟早有一天，蓄势待发，“发”则达天。
这三者的情感交集，让我联想到出了本章的主人公杰弗里•辛顿（Geoffrey Hinton）教授，在学术界里，他就是这样的一个“励志”人物！
1986年，辛顿教授和他的小伙伴们重新设计了BP算法，以“人工神经网络”模仿大脑工作机理，“吻”醒了沉睡多年的“人工智能”公主，一时风光无限。
但“好花不常开，好景不常在”。当风光不再时，辛顿和他的研究方向，逐渐被世人所淡忘。
这被“淡忘”的冷板凳一坐，就是30年。

但在这30年里，辛顿又如“飞鸟”一般，即使“飞过无痕”，也从不放弃。从哪里跌倒，就从哪里爬起。实在不行，即使换个马甲，也要重过一生。
玉汝于成，功不唐捐。
终于，在2006年，辛顿等人提出了“深度信念网（Deep Belief Nets，DBN）”（这实际上就是多层神经网络的马甲）[2]。这个“深度信念网”后期被称为“深度学习”。终于，辛顿再次闪耀于人工智能世界，随后被封为“深度学习教父”。

但细心的读者可发现，即使辛顿等人提出了“深度信念网”，在随后的小10年里，这个概念亦是不温不火地发展着（如图1所示）。直到后期（2012年以后），随着大数据和大计算（GPU、云计算等）的兴起，深度学习才开始大行其道，一时间甚嚣尘上。

图7-1 深度学习的谷歌趋势图

回顾起杰弗里•辛顿过往40多年的学术生涯，可谓是顾跌宕起伏，但最终修得正果。倘若细细说起，这“牛逼”，还得从1986年吹起。

7.1 1986年的那篇神作

1986年10月，杰弗里•辛顿还在卡内基梅隆大学任职。他和在加州大学圣迭戈分校的认知心理学家大卫·鲁梅尔哈特（David Rumelhart）等人，在著名学术期刊《自然》上联合发表题为：“通过反向传播算法的学习表征（Learning Representations by Back-propagating errors）”的论文[3]。该文首次系统简洁地阐述反向传播算法（BP）在神经网络模型上的应用，该算法把网络权值纠错的运算量,从原来的与神经元数目的平方成正比，下降到只和神经元数目本身成正比。

与此同时，当时的大背景是，在八十年代末，Intel x86系列的微处理器和内存技术的发展，让计算机的运行速度和数据访存速度也比二十年前高了几个数量级。这一下（运算量下降）一上（计算速度上升），加之多层神经网络可通过设置隐含层 (hidden layer)，极大增强了数据特征的表征能力，从而轻易解决感知机无法实现的异或门 (XOR gate)难题，这些“天时地利人和”的大好环境，极大缓解了当年明斯基对神经网络的责难。
于是，人工神经网络的研究，渐渐得以复苏。

图7-2 1986年杰弗里•辛顿的那篇神作

值得一提的是，在文献[3]中，杰弗里•辛顿并不是第一作者，鲁梅尔哈特才是，而辛顿仅仅“屈居”第二（如图7-2所示）。但为什么我们提起BP算法时，总是说起辛顿呢？其实原因也很简单，主要有二：第一、鲁梅尔哈特毕竟并非计算机科学领域之内的人士，我们计算机科学家，总不能找一个脑科学家去“拜码头”吧；第二、辛顿是这篇论文的通信作者，通常而言，通信作者才是论文思路的核心提供者，这样一来，即使作者排名第二，也没有埋没掉辛顿教授的贡献。

同在1986年，鲁梅尔哈特也和自己的小伙伴们合作发表了一篇题为“并行分布式处理：来自认知微结构的探索”的论文[4]。仅仅从论文题目的前半部分来看，我们很可能误解这是一个有关“高性能计算”的文章，但从标题的后半部分可以得知，这是鲁梅尔哈特等人对人类大脑研究的最新认知。鲁梅尔哈特对大脑工作机理的深入观察，极大地启发了辛顿。辛顿灵光一现，觉得可以把这个想法迁移到“人工神经网络”当中。于是，就有了他们神来一笔的合作。
我们知道，1986年，辛顿和鲁梅尔哈特能在大名鼎鼎的《自然》期刊上发表论文，自然不是泛泛而谈，它一定是解决了什么大问题。下面我们就聊聊这个话题。

7.2 多层感知机网络遇到的大问题

由于历史的惯性，在第六讲中提到的多层前馈网络，有时也被称为多层感知机（Multilayer Perceptron，MLP）。但这个提法导致概念多少有些混淆。这是因为，在多层前馈网络中，神经元的内部构造已悄然发生变化，即激活函数从简单粗暴的“阶跃函数”变成了比较平滑的挤压函数Sigmoid（如图7-3所示）。
激活函数为什么要换成Sigmoid呢？其实原因并不复杂，这是因为感知机的激活函数是阶跃函数，不利于函数求导，进而求损失函数的极小值。我们知道，当分类对象是线性可分，且学习率（learning rate）η足够小时，由感知机还不堪胜任，由其构建的网络，还可以训练达到收敛。但分类对象不是线性可分时，感知机就有点“黔驴技穷”了。因此，通常感知机并不能推广到一般前馈网络中。

图 7-3 变更激活函数的前馈多层神经网络

按照我们前面章节的说法，所谓的机器学习，简单来说，就是找到一个好用的函数（function），从而较好地实现某个特定的功能（function）。一言蔽之，函数就是功能。而对于某个特定的前馈神经网络，给定网络参数（连接权值与阈值），其实就是定义了一个具备数据采集（输入层）、加工处理（隐含层），然后输出结果（输出层）的函数。
如果仅仅给定一个网络结构，其实它定义的是一个函数集合。因为不同的网络参数（连接权值与阈值），实现的功能“大相径庭”。功能不同，自然函数也是不同的！

针对前馈神经网络，我们需要实现的目的很简单，就是想让损失函数达到最小值，因为只有这样，实际输出和预期输出的差值才最小。那么，如何从众多网络参数（神经元之间的链接权值和阈值）中选择最佳的参数呢？
最简单粗暴的方法，当然就是枚举所有可能值了！

图7-4 暴力调参不可取

但这中暴力策略，对稍微复杂一点的网络就不可取了！例如，用于语音识别的神经网络，假设网络结构有7层，每一层有1000个神经元，那么仅一层之间的全连接权值，就达到\(1000×1000=10^6\)个，一旦层次多了，那权值数量就海了去了！（如图7-4所示）。故此，这种暴力调参找最优参数，既不优雅，也不高效，故实不可取！

7.3到底什么是梯度？

为了克服多层感知机存在的问题，人们设计了一种名为delta（\(\Delta \)）法则（delta rule）的启发式方法，该方法可以让目标收敛到最佳解的近似值[5]。
delta法则的核心思想在于，使用梯度下降（gradient descent）的方法找极值。具体说来，就是在假设空间中搜索可能的权值向量，并以“最佳”的姿态，来拟合训练集合中的样本。那么，何谓最佳拟合呢？当然就是让前文提到的损失函数达到最小值！

我们知道，求某个函数的极值，难免就要用到“导数”等概念。既然我们把这个系列文章定位为入门层次，那不妨就再讲细致一点。什么是导数呢？所谓导数，就是用来分析函数“变化率”的一种度量。针对函数中的某个特定点x0，该点的导数就是x0点的“瞬间斜率”，也即切线斜率，见公式（7.1）。

$$
f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} \\
= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}\tag{7.1}
$$

如果这个斜率越大，就表明其上升趋势越强劲。当这个斜率为0时，就达到了这个函数的“强弩之末”，即达到了极值点。而前文提到的损失函数，如果要达到损失最小，就难免用到导数“反向指导”如何快速抵达极小值。
在单变量的实值函数中，梯度就可以简单地理解为只是导数，或者说对于一个线性函数而言，梯度就是线的斜率。但对于多维变量的函数，它的梯度概念就不那么容易理解了。下面我们来谈谈这个概念。
在向量微积分中，标量场的梯度其实是一个向量场（vector filled）。对于特定函数的某个特定点，它的梯度就表示从该点出发，该函数值增长最为迅猛的方向（direction of greatest increase of a function）[6]。假设一个标量函数f的梯度记为：\(f\)或\(grad f\)，这里的表示向量微分算子。那么，在一个三维直角坐标系，该函数的梯度就可以表示为公式（7.2）：

$$
\nabla f = \left( {\frac{{\partial f}}{{\partial x}},\frac{{\partial f}}{{\partial y}},\frac{{\partial f}}{{\partial z}}} \right)\tag{7.2}
$$

求这个梯度值，难免要用到“偏导”的概念。说到“偏导”，这里顺便“轻拍”一下国内的翻译。“偏导”的英文本意是“partial derivatives（局部导数）”，书本上常翻译为“偏导”，可能会把读者的思路引导“偏”了。
那什么是“局部导数”呢？对于多维变量函数而言，当求某个变量的导数（相比于全部变量，这里只求一个变量，即为“局部”），就是把其它变量视为常量，然后整个函数求其导数。之后，这个过程对每个变量都“临幸”一遍，放在向量场中，就得到了这个函数的梯度了。举例来说，对于3变量函数\(f = {x^2} + 3xy + {y^2} + {z^3}\)，它的梯度可以这样求得：
（1） 把\(y\)，\(z\)视为常量，得\(x\)的“局部导数”：

$$
\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = 2x + 3y
$$

（2） 然后把\(x\)，\(z\)视为常量，得\(y\)的“局部导数”：

$$
\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = 3x + 2y
$$

（3） 最后把\(x\)，\(y\)视为常量，得\(z\)的“局部导数”：

$$
\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = 3{z^2}
$$

于是，函数\(f\)的梯度可表示为：

$$
\nabla f = grad(f) \\
= \left( {2x + 3y,3x + 2y,3{z^2}} \right)
$$

针对某个特定点，如点A（1, 2, 3），带入对应的值即可得到该点的梯度：

$$
\begin{aligned}
\nabla f & = grad(f)\\&=(2x+3y,3x+2y,3z^2)\mid_{\begin{aligned}& x=1 \\ & y=2 \\ & z=3 \end{aligned}} \\
& = (8,7,27)
\end{aligned}
$$

这时，梯度可理解为，站在向量点A（1, 2, 3），如果想让函数f的值增长得最快，那么它的下一个前进的方向，就是朝着向量点B（8,7,27）方向进发（如图7-3所示）。很显然，梯度最明显的应用，就是快速找到多维变量函数的极(大/小)值。

图7-5 梯度概念的示意图

在这里需要说明的是，我们用“局部导数”的翻译，仅仅是用来加深大家对“偏导”的理解，并不是想纠正大家已经约定俗成的叫法。所以为了简单起见，在后文我们还是将“局部导数”称呼为“偏导”。

7.4 到底什么是梯度下降？

上面我们提到了梯度的概念，下面我们说说在求损失函数极小值过程中，常常提到的“梯度递减”的概念。
我们先给出一个形象的案例。爬过山的人，可能会有这样的体会，爬坡愈平缓（相当于斜率较小），抵达山峰（函数峰值）的过程就越缓慢，而如果不考虑爬山的重力阻力（对于计算机而言不存在这样的阻力），山坡越陡峭（相当于斜率越大），顺着这样的山坡爬山，就越能快速抵达山峰（对于函数而言，就是愈加快速收敛到极值点）。

图7-6 梯度递减求极小值

如果我们把山峰“乾坤大挪移”，把爬山峰变成找谷底（即求极小值），这时找斜率最陡峭的坡而攀爬山峰的方法，并没有本质变化，不过是方向相反而已。如果把登山过程中求某点的斜率称为“梯度（gradient）”，而找谷底的方法，就可以把它称之为“梯度递减（gradient descent）”，示意图如图7-6所示。
依据“梯度递减”作为指导，走一步，算一步，一直遵循“最陡峭”的方向，探索着前进，这个过程，是不是有点像邓公的名句“摸着石头过河”？

这个“梯度递减”体现出来的指导意义，就是“机器学习”中的“学习”内涵，即使在大名鼎鼎的“AlphaGo”中，“学习”这是这么玩的！你是不是有点失望？这机器学习也太不高大上了！

但别忘了，在第一讲中，我们就已经讲到“学习”的本质，在于性能的提升。利用“梯度递减”的方法，的确在很大程度上，提升了机器的性能，所以，它就是“学习”！
当然，从图7-3中，我们也很容易看到“梯度递减”的问题所在，那就是它很容易收敛到局部最小值。正如攀登高峰，我们会感叹“一山还比一山高”，探寻谷底时，我们也可能发现，“一谷还比一谷低”。但是“只缘身在此山中”，当前的眼界让我们像“蚂蚁寻路”一样，很难让我们有全局观，因为我们都没有“上帝视角”。

7.5 重温神经网络的损失函数

针对前馈神经网络的设计，输入和输出层设计比较直观。比如说，假如我们尝试判断一张手写数字图片上面是否写着数字“2”。很自然地，我们可以把图片像素的灰度值作为网络的输入。如果图片的维度是16×16，那么我们输入层神经元就可以设计为256个（也就是说，输入层是一个包括256个灰度值向量），每个神经元接受的输入值，就是规格化的灰度值。

而输出层的设计也很简单，就是需要包含10神经元，输出是数字“0~9”的分类概率（也就是说，输出层是一个包括10个概率值的向量）。择其大者而判之，如图7-7所示，如果判定为“2”的概率（比如说80%）远远大于其他数字，那么整个神经网络的最终判定，就是手写图片中的数字是“2”，而非其它数字。
相比于神经网络输入、输出层设计的简单直观，它的隐含层设计，可就没有那么简单了。说好听点，它是一门艺术，依赖于“工匠”的打磨。说不好听点，它就是一个体力活，需要不断地“试错”。

但通过不断地“折腾”，研究人员还真是掌握了一些针对隐层的启发式设计规则（如下文即将提到的BP算法），以此降低训练网络所花的开销，并尽量提升网络的性能。
那么，怎样才算是提升神经网络性能呢？这就需要用到前面我们前面提到的损失函数了。在第六章我们提到，所谓“损失函数”，就是一个刻画实际输出值和期望输出值之间“落差”的函数。
为了达到理想状态，我们当然希望这种“落差”最小，也就是说，我们希望快速配置好网络参数，从而让这个损失函数达到极小值。这时，神经网络的性能也就接近最优！

关于求损失函数极小值，台湾大学李弘毅博士给出了一个通俗易懂的例子，下面我们来说说。对于识别手写数字的神经网络，训练数据都是一些“0，1 2， …, 9”等数字图像，如图7-8所示。

图7-8 识别手写数字的神经网络

由于人们手写数字的风格不同，图像的残缺程度不同，输出的结果有时并不能“十全十美”，于是我们就用损失函数来衡量二者的误差。前面我们提到，常用的损失函数是：
$$
(Y,f(X)) = \frac{1}{2}{(Y - f(X))^2}\tag{7.3}
$$
机器学习的任务，在很大程度上，找一个模型，拟合（fitting）或者说“适配”给定的训练数据，然后再用这个模型预测新数据。这个模型的表现形式，具体说来，就是设计一个好用的函数，用以揭示这些训练样本随自变量的变化关系。揭示拟合好坏的程度，就要用到损失函数。“损失”越小，说明拟合的效果就越好。

图7-9 用梯度递减，更新网络权值

在我们训练神经网络时，损失函数说白了，就是有关“权值参数”的函数。为了求损失函数的极小值，就不可避免地需要计算损失函数中每一个权值参数的偏导数，这时前文中提到的“梯度递减”方法就派上用场了。训练线性单元的梯度递减算法示意图如图7-9所示，图中的参数η就是“学习率”，它决定了梯度递减搜索的步长，这个步长“过犹不及”。如果值太小，则收敛慢，如果值太大，则容易越过极值，导致网络震荡，难以收敛。
图7-9仅仅给出一个权值变量\(w_i\)的梯度示意图，而实际上，神经网络中的参数是非常多的，因此针对损失函数\(L\)的权值向量的梯度\(\mathop w\limits^ \to\)可以记作：
$$
\nabla L(\mathop w\limits^ \to ) \equiv \left[ {\frac{{\partial L}}{{\partial {w_0}}},\frac{{\partial L}}{{\partial {w_2}}},...,\frac{{\partial L}}{{\partial {w_n}}}} \right]\tag{7.4}
$$
在这里，\(\nabla L(\mathop w\limits^ \to )\)本身就是一个向量，它的多个维度分别由损失函数\(L\)对多个权值参数\(w_i\)求偏导所得。当梯度被解释为权值空间的一个向量时，它就确定了L对陡峭上升的方向。
如果需要根据图7-9所示的公式来更新权值，我们需要一个更加实用的办法，在每一步重复计算。幸运的是，这个过程并不复杂，通过简易的数学推导，我们可以得到每个权值分量\(w_i\)更加简明的计算公式：

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial L}{\partial w_{i}}= & \frac{\partial}{\partial w_{i}}\frac{1}{2}(Y-f(X))^2=\frac{1}{2}\sum_{d\in D}\frac{\partial}{\partial w_{i}}(y_{d}-y_{d}')^2 \\
= & \frac{1}{2}\sum_{d\in D}2(y_{d}-y_{d}')\frac{\partial}{\partial w_{i}}(y_{d}-y_{d}') \\
= & \sum_{d\in D}(y_{d}-y_{d}')\frac{\partial}{\partial w_{i}}(y_{d}-\vec{w}\cdot\vec{x}_{d}) \\
= & \sum_{d\in D}(y_{d}-y_{d}')(y_{d}-\vec{x}_{id})
\end{aligned}
\tag{7.5}
$$

其中，\(x_{id}\)表示训练集合第\(d\)个样例的输入分量\(x_i\)，\(y_d\)表示第\(d\)样例的期望输出值，\(y_{d}^{’}\)表示第\(d\)样例的实际输出值，这二者的差值就是“损失（loss）”，也称之为误差（error）。有了公式（7.5）做支撑，图7-9所示的算法就可行之有“章法”了。
有了前面的知识铺垫，我们终于可以在下一章谈谈误差反向传播(Back Propagation，BP)算法了。

7.6 小结

在本章中，我们主要讲解了梯度的概念。所谓梯度，就是该函数值增长最为迅猛的方向，然后我们介绍了梯度下降法则。
在下一章中，我们将用最为通俗易懂的图文并茂的方式，给你详细解释误差反向传播（BP）算法。BP算法不仅仅是作为经典留在我们的记忆里，而且，它还“历久弥新”活在当下。要知道，深度信念网（也就是深度学习）之所以性能奇佳，不仅仅是因为它有一个“无监督”的逐层预训练（unsupervised layer-wise training），除此之外，预训练之后的“微调（fine-tuning）”，还是需要“有监督”的BP算法作为支撑。
由此可见，BP算法影响之深，以至于“深度学习”都离不开它！
“世上没有白走的路，每一步都算数”。希望你能持续关注。

7.7 请你思考

通过本章的学习，请你思考如下问题：
（1）在前馈神经网络中，隐含层设计多少层、每一层有多少神经元比较合适呢？我们可以设定一种自动确定网络结构的方法吗？
（2）神经网络具有强大的特征表征能力，但“成也萧何，败也萧何”，BP算法常常遭遇“过拟合（overfitting）”，它可能会把噪音当做有效信号，你知道有什么策略来避免过拟合吗？

【参考文献】

[1] 吴军. 智能时代. 中信出版集团. 2016.8
[2] Hinton G E, Osindero S, Teh Y W. A fast learning algorithm for deep belief nets[J]. Neural computation, 2006, 18(7): 1527-1554.
[3] Williams D, Hinton G. Learning representations by back-propagating errors[J]. Nature, 1986, 323(6088): 533-538.
[4] Rumelhart D E, McClelland J L, PDP Research Group. Parallel Distributed Processing, Volume 1 Explorations in the Microstructure of Cognition: Foundations[J]. 1986.
[5] Tom Mitchell著.曾华军等译. 机器学习. 机器工业出版社. 2007.4
[6] Better Explained. Vector Calculus: Understanding the Gradient

文章作者：张玉宏，著有《品味大数据》一书。
联系邮件：zhangyuhong001@gmail.com
审校：我是主题曲哥哥。

【参考文献】

1 雷·库兹韦尔, 李庆诚等译. 奇点临近.机械工业出版社.2012.12
2尤瓦尔·赫拉利，未来简史. 出版社：中信出版社.2017.1
[3] 李航.统计学习方法.清华大学出版社.2012.3
[4] Hornik K, Stinchcombe M, White H. Multilayer feedforward networks are universal approximators[J]. Neural networks, 1989, 2(5): 359-366.

文章作者：张玉宏（著有《品味大数据》），审校：我是主题曲哥哥。

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