1.5 微分和积分
即使你对微积分不熟悉，也不要让书中的微分和积分吓到你。在整本书中，当我们用微积分书写等式的时候，都会向你表明如何处理它们的运算。我们不会很深入地论述微分和积分所有的属性和应用，而只会触及它们的物理意义，因为这些与我们所要涵盖的材料有关。
你可以将微分想象成一个变量随另一个变量变化的速率，或者换种说法，微分告诉了你一个变量随另一个变量变化的有多快。以速度为例。一辆汽车以固定速度在固定时间内行驶过一段距离。它的平均速度是在特定时间间隔内行驶过的距离。如果它在一小时内行驶了60公里，那么它的平均速度就是60公里每小时。当我们仿真时，也就是你在本书后面将会看到的，我们会关注汽车在非常短的时间间隔内做了什么。由于时间间隔变得非常小，当我们考虑在这段非常短的时间段内汽车经过的距离时，我们看到的是瞬时速度（instantaneous speed）。我们通常将这种关系用符号表示如下：
其中v是速度、ds是一小段距离（微分（differential）距离）而dt是一小段时间（微分时间）。在现实中，对于我们的仿真来说，我们永远也没有机会处理无穷小的数，我们将会使用很小的数字，如1毫秒的时间间隔，而非无穷小。
出于我们的目的，你可以将积分想象成微分的逆向或者反向运算。积分法是微分法的逆运算。∫符号表示积分。你可以将积分想象成将变量的一些无穷小的块相加的过程。但是在这里我们处理的不是任何无穷小的东西，而是考虑将变量分为小的、离散的块，例如一小块离散的时间、面积或质量。在这些情况下，我们将会用Σ符号替换积分符号。考虑一块均匀切成细片的面包。如果你想要计算它的体积，你可以近似的从一端开始计算第一片的体积，通过将它近似为一个短的方柱体来计算体积。之后再计算第二片的体积并将它与第一片的体积相加。之后计算第三片、第四片等，同时在从一边向另一边计算时将体积加起来。积分将这一技术应用在无限薄的片上来计算任意形状的体积。同样的技术也应用于其他计算，例如，计算面积、惯性（inertias）、质量等，甚至如之后你会见到的，计算在小时间片上旅行过的距离之和。事实上，稍后的这个应用是使用距离对时间微分给出速度的逆运算。你稍后会看到，这样使用积分和微分可以在速度、加速度和行进过的距离之间来回转换。事实上我们会在本书中经常使用这些概念。