一. 特征值估计
特征值是矩阵很重要的性质,当阶数过高的时候, 计算特征值就很困难,所以需要估计.
范数的内容参见 矩阵分析(1).
定理1: 设A的特征值为 λ1,λ2,.. λn. 则 |λi| ≤ ||A||, 其中矩阵范数为行范数和列范数. 且|λi|² ≤ ||A||, 其中矩阵范数为谱范数.
定义盖尔圆盘(Gerschgorin): 方阵A = (aij), 令δi = A中第i行元素绝对值之和 – |aii|. 也就是δi 为 第i行除了对角元之外元素的绝对值之和.则盖尔圆Gi 为以aii为圆心,以δi为半径的圆盘.
A有n个盖尔圆.
定理2: A的n个盖尔圆 G1, G2, .. Gn, 有以下特性:
1) A的任一特征值 λ ∈∪(i=1, n)Gi.
2) 孤立的盖尔圆内有且只有一个特征值, 联通的盖尔圆内,几个盖尔圆联通就有几个特征值.
由盖尔圆的特性,可以总结出如下推论:
1. 若原点不在A的盖尔圆内,则A非奇异.
2. 若A对角占优, 即 |aii| > δi,(包括行对角占优和列对角占优), 则A非奇异.
3. 若A的n个盖尔圆两两不相交,则A有n个互异的特征值,从而A是单纯矩阵.
4. 若实方阵A有k个孤立的盖尔圆,则A至少有k个相异的实特征值. 事实上,A的n个盖尔圆的圆心都在实轴上,每个孤立的盖尔圆只有一个特征值,而实方阵若有复特征值,则必然成对出现.
由于孤立的盖尔圆有好的属性,所以可以采用如下方法放缩盖尔圆:
1) 对A^T使用盖尔圆定理. (一般没什么用)
2) 选取适当正数 d1,d2,…dn , 令D = diag{ d1, d2, … dn} , B = D A D^-1 , 则B的盖尔圆心不变, A与B相似,有相同特征值, di的选取办法是:
若di<1, 其余为1, 则A的第i个盖尔圆缩小,其余放大;
若di>1, 其余为1, 则A的第i个盖尔圆放大,其余缩小.
二. 矩阵级数:
在数学分析中, 是以序列极限理论为基础来讨论级数的.矩阵中的级数也很类似.
矩阵A 收敛于A0的定义是, A中每一个元素都收敛于A0中对应的元素.
定义1: 设{Ak}, m x n阶矩阵 Ak ∈ C, 称Σ(k=1,∞) Ak 为矩阵级数. 令Sn = Σ(k=1,n) Ak , 若{Sk} 收敛且有极限S, 则该级数Σ(k=1,∞) Ak 收敛并有和S.
-绝对收敛的概念也类似, 每一个元的元素都绝对收敛则A绝对收敛.
矩阵的幂级数: 形如Σ(m=0, ∞) cm A^m 的矩阵级数称为A的幂级数.(m为下标和次数).
定理: 设复变量幂级数 Σ(m=0, ∞) cm z^m 的收敛半径为R, 方阵A的谱半径为 ρ(A), 则:
当 ρ(A) < R时, 矩阵幂级数绝对收敛;
当 ρ(A) > R时, 矩阵幂级数法矢.
推论: Σ(m=0, ∞) A^m 收敛 等价于 ρ(A) < 1 ,此时其和为 (I – A)^-1.